数理统计-5.4 三大抽样分布-程序员宅基地

X^2分布(卡方分布)
定义：设X1、X2、……、Xn独立同分布于标准正态分布N(0,1)
则X^2= X1^2+X22+……+Xn^{2的分布称为称为自由度为n的X}2分布
记为X^2～X2(n)
若随机变量Xi～N(0,1)，则有Xi^2～Ga(1/2,1/2)(伽马分布)
由伽马分布的可加性，X^2=Sum(Xi2)，X^2～Ga((1/2)n,1/2)
F(a)=积分符 x^(a-1)*e(-x) dx(伽马函数)
Ga(a,b)=[b^a/F(a)]*[x(a-1)e^(-bx)]
X^{2的密度函数：Ga((1/2)*n,1/2)=[(1/2)}(n/2)/F(n/2)][x^(n/2-1)*e(-x/2)]

定理：设x1、x2、……、xn是来自正态总体N(u,c^2)的样本，其样本均值和样本方差分别为
x一捌=Sum(xi)/n=u
s^{2=Sum((xi-x一捌)}2)/(n-1)
(1) x一捌和s^2相互独立
(2) x一捌~N(u,c^2/n)
(3) [(n-1)*s^2]/c2～X^2(n-1):总体方差与样本方差的关系
卡方分布例题：

F分布
定义：设随机变量X1～X^{2(m)，随机变量X2～X}2(n)，X1与X2相互独立，则称F=(X1/m)/(X2/n)是自由度为m与n的F分布，记为F～F(m,n)，其中m称为分子自由度，n称为分母自由度
推论：
1、F(a)(n,m)=1/F(1-a)(m,n)
2、x1，……，xm是来自N(u,c^{2)的样本，y1，……，yn是来自N(u1,c1}2)的样本，且此两样本相互独立
x一捌=Sum(xi)/m
Sx^{2=Sum((xi-x一捌)}2)/(m-1)
y一捌=Sum(yi)/n
Sy^{2=Sum((yi-y一捌)}2)/(n-1)
Sx^2/c2～X^2(m-1)
Sy^2/c12～X^2(n-1)
[Sx^2/c2]/[Sy^2/c12]～F(m-1,n-1):两样本与其总体的方差之间的关系

t分布
定义：设随机变量X1与X2独立且X1～N(0,1)，X2～X^2(n)，则称t=X1/sqrt(X2/n)的分布自由度为n的t分布，记为t～t(n)
概率密度函数：

本文链接：https://blog.csdn.net/dc12499574/article/details/121322256

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