电机控制系列文章

感应（异步）电机磁场定向控制MATLAB/Simulink建模
感应（异步）电机磁场定向控制速度环PI控制参数设计

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前言

大家在做感应（异步）电机磁场定向控制（FOC）的时候，是否还在疑惑PI参数怎么给，还在用PI参数整定口诀一点一点去试，或者按书籍论文的计算公式搞出来不对？那你的电机控制理论需要进一步深入了，如果按照书籍论文的计算公式算出来不能用，你可以来这里看看你的MATLAB/Simulink建模有没有问题：
感应（异步）电机磁场定向控制MATLAB/Simulink建模。
如果是不知道PI参数怎么给，我来指导你设计合适的PI参数。
事实上TI（德州仪器）早就把这些东西工程化了，《InstaSPIN-FOC and InstaSPIN-MOTION User’s Guide》里有详细的指导，本人也是从其中窥得PI参数设计大法。如果你看过这个文档，没关系，也可以看看我写的，其中也有我个人的理解。
本文首先介绍电流环的PI参数设计。

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一、并联型PI与串联型PI

下图是并联型PI：

下图是串联型PI：

我们搞控制的，一般都接触的是并联型PI吧。可是TI在InstaSPIN-FOC里推崇用串联型PI。TI说，并联型PI，$K_{\text{i}}$负责低频增益，$K_{\text{p}}$负责高频增益。把并联型PI传递函数的s换成jω，ω较小时，第二项起主要作用。ω较大时，第一项起主要作用。这里也可以这样理解，调$K_{\text{i}}$不就是调静差吗，静差不就是低频吗，调$K_{\text{p}}$不就是调响应快慢吗，响应快慢不就是高频吗。
$$G_{\text{parallel\_PI}}(j\omega )=K_{\text{p}}+\frac{K_{\text{i}}}{j\omega }$$

串联型PI里，$K_{\text{p}}^{\text{series}}$负责全频域增益，而$K_{\text{i}}^{\text{series}}$只负责零点位置。
$$G_{\text{series\_PI}}(j\omega )=K_{\text{p}}^{\text{series}}(1+\frac{K_{\text{i}}^{\text{series}}}{j\omega })$$

说到这里，用哪一种并不重要，只是串联型PI在接下来的分析中比较方便，如果你习惯用并联型PI，就把系数转换一下。你用并联型PI去设计参数也是没有问题的。
但是，这里我有一个想法，之前习惯用并联型PI去调控制，一般是一个不动调另一个。借助串联型PI，调并联型PI的思路可以是这样，调整$K_{\text{p}}$和$K_{\text{i}}$的比例，使响应曲线形态比较好（比如一阶系统的阶跃响应），然后同时等比例增大或减小$K_{\text{p}}$和$K_{\text{i}}$，调整响应快慢。

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二、被控对象模型

电流环输出电压控制电机，电机输出电流反馈回电流环。从定子侧看，电流环对应的电机模型可简化为

R为电阻（对感应电机q轴，不是定子电阻），L为电感（对感应电机，既不是漏感也不是自感），$\omega K_{\text{E}}$为反电动势，反电动势主要由电机转速、磁链影响，而相较于电机电流，电机转速、磁链变化较慢，可认为是直流量，因此电机定子小信号模型传递函数为
$$G_{\text{motor}}(s)=\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{\frac{1}{R}}{1+\frac{L}{R}s}$$
对应感应电机电压方程，如下式，简化模型中的L是$\sigma L_{\text{s}}$，d轴中R是$R_{\text{s}}$，q轴中R是$R_{\text{s}}+\frac{L_{\text{m}}^2}{L_{\text{r}}^2}{R}_{\text{r}}$，TI文件中说是$R_{\text{s}}+R_{\text{r}}$，应该是$L_{\text{m}}$与$L_{\text{r}}$很接近。后面的分析中仍然用R和L来表示。
$$\{\begin{array}{l}{u}_{\text{sd}}=R_{\text{s}}{i}_{\text{sd}}+\sigma L_{\text{s}}\frac{d{i}_{\text{sd}}}{dt}-{\omega }_{\text{s}}\sigma L_{\text{s}}{i}_{\text{sq}}+\frac{L_{\text{m}}}{L_{\text{r}}}\frac{d{\psi }_{\text{rd}}}{dt}\\ u_{\text{sq}}=(R_{\text{s}}+\frac{L_{\text{m}}^2}{L_{\text{r}}^2}{R}_{\text{r}})i_{\text{sq}}+\sigma L_{\text{s}}\frac{d{i}_{\text{sq}}}{dt}+{\omega }_{\text{s}}\sigma L_{\text{s}}{i}_{\text{sd}}+{\omega }_{\text{r}}\frac{L_{\text{m}}}{L_{\text{r}}}{\psi }_{\text{rd}}\end{array}$$

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三、电流环闭环传递函数

还是用电机简化模型的传递函数，暂不考虑电流滤波器、计算延时、PWM采样延时，电流环闭环传递函数表示为下式
$$G_{\text{curr\_cl}}(s)=\frac{\frac{K_{\text{p}}^{\text{series}}{K}_{\text{i}}^{\text{series}}(1+\frac{s}{K_{\text{i}}^{\text{series}}})}{s}\times \frac{\frac{1}{R}}{1+\frac{L}{R}s}}{1+\frac{K_{\text{p}}^{\text{series}}{K}_{\text{i}}^{\text{series}}(1+\frac{s}{K_{\text{i}}^{\text{series}}})}{s}\times \frac{\frac{1}{R}}{1+\frac{L}{R}s}}$$
整理一下
$$G_{\text{curr\_cl}}(s)=\frac{1+\frac{s}{K_{\text{i}}^{\text{series}}}}{\frac{L}{K_{\text{p}}^{\text{series}}{K}_{\text{i}}^{\text{series}}}{s}^2+(\frac{R}{K_{\text{p}}^{\text{series}}{K}_{\text{i}}^{\text{series}}}+\frac{1}{K_{\text{i}}^{\text{series}}})s+1}$$
可以看出这是一个二阶系统，分子上有一个零点，分母有两个极点，最好零极对消，只剩一个极点，就变成了一个一阶系统。为什么要变为一阶系统呢？很多地方都要提降阶，降阶使系统变得更简单，更方便分析性能，更容易设计控制系统。一阶系统没有超调，只用调整一个参数就可以改变阶跃响应时间。
一阶系统的单位阶跃响应如下图所示

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四、电流环PI参数设计

为了零极对消，分母应该做如下因式分解，
$$G_{\text{curr\_cl}}(s)=\frac{1+\frac{s}{K_{\text{i}}^{\text{series}}}}{(1+\frac{R}{K_{\text{p}}^{\text{series}}{K}_{\text{i}}^{\text{series}}}s)(1+\frac{s}{K_{\text{i}}^{\text{series}}})}$$
这个式子可以零极对消，但和之前的式子相比，有个问题，分母$s^2$的系数不一样，那就令他们一样，
$$\frac{L}{K_{\text{p}}^{\text{series}}{K}_{\text{i}}^{\text{series}}}=\frac{R}{K_{\text{p}}^{\text{series}}(K_{\text{i}}^{\text{series}}{)}^2}$$
解得
$$K_{\text{i}}^{\text{series}}=\frac{R}{L}$$
将该结果代入闭环传函，得
$$G_{\text{curr\_cl}}(s)=\frac{1}{\frac{L}{K_{\text{p}}^{\text{series}}}s+1}$$
这下就很简单了，将$K_{\text{p}}^{\text{series}}$设计为
$$K_{\text{p}}^{\text{series}}=L\times {\omega }_{\text{b}}$$
传函变为
$$G_{\text{curr\_cl}}(s)=\frac{1}{\frac{s}{{\omega }_{\text{b}}}+1}$$
${\omega }_{\text{b}}$为一阶系统的带宽。这意味着我们可以自由设计电流环的带宽了！也就是像之前说的，我们可以调节电流环的阶跃响应时间，而且没有超调！

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五、计算延时、PWM采样延时、滤波器的影响

本文的关键来了，前面所述均是在理想情况下的推算，实际上在一个电机控制系统里，DSP计算需要时间，不可避免地就引入了计算延时。PWM采样也会产生延时。而滤波器对dq电流也有延时作用。下面分别来分析。

1、计算延时

计算延时的关键在于计算出来的调制波什么时候送到PWM的比较模块。举个例子，一个DSP电机控制系统，在PWM载波波峰处触发PWM中断开始AD采样、控制计算，PWM模块配置为波峰处将调制波载入比较器，那么这个时候只能在下个波峰到来时载入此时计算出来的调制波。从PWM中断开始算起，到下一个载波波峰到来就是一个开关周期，即因为计算延迟了一个开关周期。
延迟环节的传递函数为$e^{-Ts}$，一般将它等效为一个一阶惯性环节$\frac{1}{Ts+1}$。以延迟200us为例，二者波特图如下所示，蓝色为延迟环节，红色为一阶惯性环节，在低频段，二者非常接近，所以这种近似是可以的。

2、PWM采样延时

一般的DSP电机控制系统，都是规则采样，也就是对调制波周期采样。比如在载波波峰处将调制波载入比较器，那么只有在波峰处才进行了更新，其他时间都是保持更新后的值，表现为一个零阶保持器。举个例子，如下是开关频率5kHz的PWM规则采样，在载波波峰处将调制波载入比较器，蓝色为原始调制波，红色是经零阶保持的实际调制波，是一个阶梯波，而它的基波幅值与原始调制波一样，但时间上延迟了半个开关周期，如紫色虚线所示。

零阶保持器的传递函数为$\frac{1-e^{-Ts}}{Ts}$，T为采样周期，基波则延迟了0.5T，由前面所述的延迟环节等效关系，零阶保持器可等效为$\frac{1}{0.5Ts+1}$的一阶惯性环节。下图为二者波特图对比，蓝色为零阶保持器，红色为一阶惯性环节，可以看到，二者在低频非常接近，因此这种等效也是可以的。

结合计算延时和PWM采样延时，传递函数为$\frac{1}{(Ts+1)(0.5Ts+1)}=\frac{1}{0.5T^2{s}^2+1.5Ts+1}$，忽略高阶项，传递函数变为$\frac{1}{1.5Ts+1}$，这就是很多书里面出现1.5的原因。忽略高阶项在控制里面很常见，比如非线性系统的线性化，很多都是忽略高阶项。

3、滤波器

很多电机控制系统里，对dq电流做了低通滤波，常见的就是一阶、二阶低通滤波。
一阶低通滤波的传递函数为$\frac{1}{Ts+1}$，可以直接当成一个延迟环节。
二阶低通滤波的传递函数为$\frac{{\omega }_{\text{n}}^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{\text{n}}s+{\omega }_{\text{n}}^2}=\frac{1}{\frac{1}{{\omega }_{\text{n}}^2}{s}^2+\frac{2\zeta }{{\omega }_{\text{n}}}s+1}$，大胆一点，干掉高阶项，也变成一个延迟环节$\frac{1}{\frac{2\zeta }{{\omega }_{\text{n}}}s+1}$。

4、三者结合

至此，我们把控制延时、PWM采样延时、滤波器都等效为一阶惯性环节，三者再结合一下，传递函数变为$\frac{1}{(T_{\text{d\_cal}}+T_{\text{d\_pwm}}+T_{\text{d\_filter}})s+1}$。如果开关频率为5kHz，一阶低通滤波器截至频率选为2kHz，那么$T_{\text{d\_cal}}$为200us，$T_{\text{d\_pwm}}$为100us，$T_{\text{d\_filter}}$为80us，数量级相近。

5、影响

一个时间常数为100us的一阶惯性环节波特图如下所示，如果电流环开环穿越频率为1000rad/s，那么从图上可知，一阶惯性环节造成-6°的相移，也即相位裕度减小6°，这对于控制来说影响不大。如果电流环开环穿越频率为转折频率10000rad/s，相位裕度减小45°，这个影响就大了。
开环的穿越频率与闭环的带宽频率比较接近，因此，在设计电流环闭环带宽时，带宽频率应小于一阶惯性环节的转折频率。小多少要看你对系统的要求，太小响应会变慢，大了系统会变得敏感，因此要根据具体性能要求来决定。

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总结

本文介绍了感应（异步）电机磁场定向控制电流环PI控制参数设计，主要内容从《InstaSPIN-FOC and InstaSPIN-MOTION User’s Guide》中提取，同时包含我个人的理解，以期这篇文章能帮助大家设计电流环PI参数。

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如果懒得搭模型，可以来这里下载
感应（异步）电机间接磁场定向控制MATLAB/Simulink仿真模型