多个Qubits  

虽然单量子比特门具有一些反直觉特征，例如在给定时间处于多于一种状态的能力，如果我们在量子计算机中所有的都是单量子比特门，那么我们将具有计算能力的设备即使是一台计算器，更不用说一台经典的超级计算机了。 量子计算的真正能力只有在我们增加量子比特时才变得可见。 这种能力的产生部分是因为量子态矢量随量子比特数呈指数增长的向量空间的维数。 这意味着虽然单个量子位可以进行简单模拟，但模拟一个五十个量子位的量子计算可能会推动现有超级计算机的极限。 只需增加一个额外量子位就可以增加计算量，使存储状态所需的存储量增加一倍，并使计算时间大约增加一倍 。 计算能力的快速倍增是为什么具有相对少量量子位的量子计算机远远超过今天，明天和未来一些计算任务中最强大的超级计算机。

为什么我们有量子状态向量的指数增长？ 我们在本节中的目标是回顾用于从单量子比特状态构建多量子比特状态的规则，并讨论我们需要包含在门控组中以形成通用多量子比特计算机的门控操作。 这些工具对于理解Q＃代码中常用的门设置是非常必要的，并且为了理解为什么量子效应（如纠缠或干扰）使量子计算比经典计算更强大，我们对此有直觉。

代表两个Qubits

一个和两个量子比特状态的主要区别在于两个量子比特状态是四维的而不是二维的。 这是因为两个量子比特状态的计算基础是由一个量子比特状态的张量积形成的。

很容易看出，更一般地说，$n$量子位的量子态用维数$2^n$的单位向量表示。 矢量如果$，则表示两个量子位上的量子态$。 正如单个量子位一样，多个量子位的量子态向量包含描述系统行为所需的所有信息。

如果给出两个单独的量子位，一个在状态和状态相应的两个量子比特状态是

操作

测量两个Qubit状态

测量两个量子比特状态与单量子比特测量非常相似。 测量状态 以概率

，$10$ 以概率 产生概率为 ，$01$ 的$00$ ， $11$ ，概率为 。 变量${}_{}，$ 和 是故意命名的，以使此连接清晰。 在测量之后，如果结果是$00$ ，那么两个量子位系统的量子态已经崩溃并且现在是

也可以测量两个量子位量子态的一个量子位。 在只测量其中一个量子位的情况下，测量的影响微妙地不同，因为整个状态不会折叠到计算基础状态，而是会折叠为仅一个子系统。 换句话说，在这种情况下，只测量一个量子位只会使其中一个子系统崩溃，而不是全部。

为了看到这个问题，考虑测量下面状态的第一个量子位，它是通过在最初设置为“0”状态的两个量子位上应用Hadamard变换$H$

$$ 0$$ 1$$时初始量子状态向量是不变的。

测量第一或第二量子位的数学规则很简单。 如果我们让$e_k$为计算基向量并让$S$为所有$e_k$的集合，使得所讨论的量子位的值为$1$的值为$k$。 例如，如果我们有兴趣测量第一个量子位，那么$S$将包含$e_{2}10$和$e_{3}11$。 同样，如果我们对第二个量子位感兴趣，$S$将包含$e_{1}01$和$e_{3}11$。 那么测量选择的量子位为$1$的概率就是状态向量

。

由于每个量子比特测量只能产生$0$或$1$，因此测量$0$的概率仅为$1-P（outcome=1）$。 这就是为什么我们只明确给出一个衡量$1$的概率的公式。

这种测量对状态的作用可以用数学表示为

谨慎的读者可能担心测量的概率为零时会发生什么。 虽然在这种情况下结果状态在技术上是不确定的，但我们从不需要担心这种可能性，因为概率为零！

如果我们将

请注意，这仅仅是测量结果$10$和$11$所需的所有量子位的两个概率的总和。 就我们的例子而言，这是评估

这完全符合我们的直觉告诉我们概率应该是什么。 

同样，状态可以写成 再次按照我们的直觉。

两个Qubit操作

和单量子比特情况一样，任何幺正变换都是量子比特的有效操作。 一般来说，$n$qubits上的幺正变换是一个矩阵$U$，其大小为$2^n\text{*}{2}^n$（这样它就作用于大小为$2^n$的向量），这样$U^{-1}={}^{}$

我们还可以通过在两个量子位上应用单量子比特门形成两个量子比特门。 例如，如果我们应用门

到第一个和第二个量子位，这相当于应用由它们的张量积给出的二个量子位单元：

因此，我们可以通过获取一些已知的单量子比特门的张量积来形成两个量子比特门。 双比特门的一些例子包括$HH$，$X\text{1}$和$XZ$。

请注意，虽然任何两个单量子比特门通过获取它们的张量积来定义一个二比特门，但反过来却是不正确的。 并不是所有的二比特门都可以写成单量子比特门的张量积。 这样的门被称为纠缠门。 一个纠缠门的例子是CNOT门。

受控非门背后的直觉可以推广到任意门。 一般来说，受控的门是一个门，作为身份（即它没有任何动作），除非特定的量子位是$1$。 我们表示一个受控制的统一体，在这种情况下，在标记为$x$的量子位上控制着$Lambd{a}_x（U）$。 作为一个例子和，其中$e_0$和$e_1$是对应于值$0$和$1$的单个量子位的计算基向量。 例如，考虑以下控制的$Z$门，然后我们可以将其表示为

。

以有效的方式建立控制单位是一项重大挑战。 要实现这一目标，最简单的方法是建立一个基本门控制版本的数据库，并将原始单一操作中的每个基本门控与其受控对象取代。 这通常是相当浪费的，通常可以使用聪明的洞察力来用受控版本替换几个门来实现相同的影响。 出于这个原因，我们在框架中提供了执行天真方法或控制的能力，或者如果已知优化的手动调整版本，则允许用户定义单一控制版本。

门也可以使用经典信息进行控制。 例如，一个经典控制的非门，只是一个普通的非门，但它只适用于经典位为$1$而不是量子位的情况。 从这个意义上讲，经典控制的门可以被认为是量子代码中的if语句，其中门仅被应用于代码的一个分支中。

和单量子比特情况一样，如果任何$4\text{*}4$酉矩阵可以用这个集合中门的乘积逼近任意精度，那么一个双量子比特门集是通用的。 通用门套件的一个例子是Hadamard门，T门和CNOT门。 通过采用这些门的乘积，我们可以近似两个量子位上的任何酉矩阵。

多-Qubit 系统

我们遵循在两个量子比特情况下探索的完全相同的模式，从较小的系统中建立许多量子比特状态。 这种状态是通过形成较小状态的张量积来建立的。 例如，考虑在量子计算机中编码位串$1011001$。 我们可以将其编码为

量子门的工作方式完全相同。 例如，如果我们希望将$X$门应用于第一个量子位，然后在第二个和第三个量子位之间执行CNOT，我们可以将此转换表示为

在许多量子位系统中，经常需要分配和解除分配作为量子计算机的临时存储器的量子位。 这种量子位被称为ancilla。 默认情况下，我们假设在分配时qubit状态被初始化为$e_0$。 我们进一步假设它在解除分配之前再次返回到$e_0$。 这个假设很重要，因为如果ancilla量子位与另一个量子位寄存器纠缠在一起时就会被解除分配，那么解除分配的过程将会损坏辅助子。 出于这个原因，我们总是假设这些量子位在被释放之前恢复到它们的初始状态。

最后，虽然需要将新的门添加到我们的门集以实现两个量子位计算机的通用量子计算，但是在多量子位情况下不需要引入新的门。 门$H$，$T$和CNOT在许多量子位上形成一个通用门，因为任何一般的幺正变换都可以分解为一系列的两个量子位旋转。 然后，我们可以利用为双量子比特情况开发的理论，并在我们有很多量子比特时再次使用它。

虽然我们迄今为止使用的线性代数符号当然可以用来描述多量子比特状态，但随着我们增加状态的大小，它变得越来越麻烦。 例如，长度为7位的字符串的结果列向量是$128$维，这使得使用前面描述的符号来表达它非常麻烦。 出于这个原因，我们接下来给出了量子计算中的一个通用符号，它允许我们简洁地描述这些高维向量。