极大似然估计和最大后验估计-程序员宅基地
技术标签： 机器学习
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机器学习中，一般只得到业务产生的数据集D，机器学习目的是通过数据D了解该项业务的过去（建模）和未来（预测和分类）。但你手头上只有数据集D，没有其他任何辅助信息，那么如何建模？
1.概率假设合理吗？
我们总是假设数据集D由某种概率分布生成（数据生成模型），甚至假设数据集D由高斯分布生成，一旦确定了高斯分布的参数，相当于我们掌握了数据的生成机制，这样就能预测业务的未来。但是，这种假设总是让人看起来不放心，这种假设合理吗？幸运的是，概率论里的中心极限定理保证了这种假设的合理性，中心极限定理表明，只要数据集D足够大，就可认为它由高斯分布生成。下图充分说明了这一点。
样本足够大时服从高斯分布
因此，即使数据集D的样本不够大，我们也会假设数据集D服从高斯分布，这时没有人会怀疑假设的合理性。高斯分布由期望和方差两个参数决定，但我们手头上只有数据集D和数据集D服从高斯分布这两条信息，并不知道高斯分布的参数的有关信息。因此估计高斯分布的参数成为我们首要任务，因为参数一旦确定下来，数据集D的生成模型也就确定下来，预测未来成为可能。关于高斯分布，我想进一步解释，不难看出，概率密度函数在期望值处取最大值，这说明了随机变量落在期望值周围的概率最大（通俗点来说就是我们大多数人生活在平均水平之中），这是密度函数名称的来源。
一维高斯分布及参数
高斯分布
2.极大似然然估计
从线性回归模型谈起，给定数据集[X,y]，参数W，误差r服从高斯分布N(0，α^2)，线性回归模型表示为：
线性回归模型
利用最小二乘法求参数W，即
最小二乘法求参数
这是一个解析解，让人满意的结果。但问题是当X中含有线性相关的特征时（特征重叠），矩阵不可逆，这时解不存在，需要选择正则化方法处理，如岭回归和lasso回归。大家应该发现这样的问题，最小二乘法与假设“误差r服从高斯分布N(0，α^2)”没有任何关系。但这个假设是合理的，只要有足够多的样本和好模型，误差自然大部分集中在0附近，并服从高斯分布。通过这个假设也可以倒逼训练出一个好模型。极大似然估计从假设“误差r服从高斯分布N(0，α^2)”开始，利用样本的独立性，有效估计参数。
首先考虑极大似然估计的通用模型，假设数据集D服从一个参数为W的概率分布f(x)=p(D=x|W)（含义为在知道W的条件下，数据集D取样本x的概率密度函数值)，这里f(x)=p(D=x|W)是概率密度函数（对于连续型随机变量用概率密度函数代替概率），p(D|W)为数据集D的联合概率分布，根据样本的独立性，p(D|W)为所有样本的概率密度函数值f(x)的乘积。我们称p(D|W)为参数W的似然函数，log(p(D|W))为参数W的对数似然函数，记为L(W|D)=log(p(D|W))。现在首要任务是估计W。既然样本数据集D已经出现，概率直觉告诉我们，D出现的概率比所有其他样本数据集D'出现的概率都要大，即L(W|D)>L(W|D')。极大似然估计就是求一个参数W使得
下面用极大似然估计求解线性回归模型。
线性回归属于监督学习，X是特征，y是对应的值（即数据集D），应把X看成已知的参数，W为待估计的参数。假设误差r服从高斯分布N(0，α^2)，这推出p(y|W)=N(W^TX，α^2)。根据极大似然估计
这说明了最小二乘法和极大似然估计在假设“误差r服从高斯分布N(0，α^2)”下是等价的。
极大似然估计基于朴素的概率直觉，有时得到的结果与实际情况有所偏差。从下图可以看出，不同的取样导致与实际情况偏差较大，因此使用极大似然估计应保持警惕。
思考1：在线性回归模型中，假设误差r服从贝塔分布，用极大似然估计参数，结果如何？
思考2：在线性回归模型中，假设误差r服从拉普拉斯分布，用极大似然估计参数，结果如何？
贝塔分布
拉普拉斯分布
3.最大后验估计
我在文章《贝叶斯定理》里详细介绍了贝叶斯定理以及先验（prior）、后验（posterior）、似然（likelihood）等概念。贝叶斯定理如下：
其中p(D)为标准化常数。贝叶斯定理可表述为：
目前，我们手头上有数据集D和数据集D服从高斯分布这两条信息，关于高斯分布的参数W，我们没有额外的信息，在这种情况下，我们只能用极大似然估计这些参数，这是我们能想到的方法。如果在建模之前能获知这些参数的额外信息，即先验p(W)，那么我们可以利用这个先验建立更加精准的模型。这就是我们下面要讲的最大后验估计。根据贝叶斯定理，最大后验估计就是求参数W使得
计算上述最大值是一个挑战，但在一些特殊情况下，比如先验p(W)是一个高斯先验，我们是可以计算的。
现在我们可以讨论极大似然估计和最大后验估计的关系了。在极大似然估计中，我们不知道p(W)，这相当于p(W)是均匀分布（均匀分布是无聊的，参数服从均匀分布等于没有告诉你关于参数任何信息），不妨假设p(W)=1，这时我们有
因此，极大似然估计和先验为均匀分布下的最大后验估计是等价的。
4.线性回归模型的最大后验估计
在线性回归模型里，误差r服从高斯分布N(0，α^2)，进一步我们假设系数W的先验p(W)=N(0，^2)，利用最大后验估计参数W，使得后验p(W|y)最大，这里我省去推导过程，直接给出结论：
本质上，这是岭回归。因此充分利用先验信息，最大后验估计比极大似然估计更加鲁棒。
思考：在线性回归模型中，假设先验p(W)服从拉普拉斯分布，用最大后验估计参数，结果如何？
5.总结
最后我们总结最小二乘法、极大似然估计和最大后验估计的关系。在线性回归模型中，假设误差r服从高斯分布N(0，α^2)，最小二乘法和极大似然估计是等价的。在线性回归模型中，假设误差r服从高斯分布N(0，α^2)，假设先验p(W)服从高斯分布N(0，^2)，最大后验估计结果是岭回归。在假设p(W)服从均匀分布下，极大似然估计和最大后验估计是等价的。总之，在充分利用先验的基础上，最大后验估计比极大似然估计更加鲁棒。
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