回溯法求解流水作业调度问题_请用回溯法求解出一个最优调度方案,是的从第一个作业在机器m1上开始加工到最后一-程序员宅基地

技术标签： dfs  算法  c++  

问题描述

有n个作业（编号为1～n）要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi（1≤i≤n）。
流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。可以假定任何作业一旦开始加工，就不允许被中断，直到该作业被完成，即非优先调度。

【输入格式】输入包含若干个用例。每个用例第一行是作业数n（1≤n≤1000），接下来n行，每行两个非负整数，第i行的两个整数分别表示在第i个作业在第一台机器和第二台机器上加工时间。以输入n=0结束。
【输出格式】每个用例输出一行，表示采用最优调度所用的总时间，即从第一台机器开始到第二台机器结束的时间。
【输入样例】
4
5 6
12 2
4 14
8 7
0
【输出样例】
33

问题求解

采用回溯法求解，对应的解空间是一个是排列树，相当于求出n个作业的一种排列使完成时间最少。
作业的编号是1～n。
数组x[]作为解向量即调度方案，即x[i]表示第i步执行的作业编号，初始时数组x的元素分别是1～n。
最优解向量用bestx[]存储。
最优解的最优调度时间用bestf表示。

f1数组：f1[i]表示第i步执行的作业x[i]在M1上执行完的总时间（含前面作业的执行时间）
f2数组： f2[i]表示第i步执行的作业x[i]在M2上执行完的总时间（含前面作业的执行时间）
由于一个作业总是先在M1上执行后在M2执行，所以f2[n]就是执行全部作业的总时间。

由于每个作业都是从M1开始的，即M1上各个作业是连续执行的，不需要等待，所以f1不需要用数组表示，直接用单个变量f1表示。

f2[i-1]>f1：需要等待 f2[i]=f2[i-1]+b[x[i]]
f2[i-1]≤f1：不需等待 f2[i]=f1+b[x[i]]
f1 += a[x[i]];
f2[i]=max(f1,f2[i-1])+b[x[i]];

排列树递归回溯框架：在求一个方案的同时求其f2[n]时间！
剪枝：求出第i层的f2[i]即执行作业x[i]后的总时间,若f2[i]≥bestf （bestf为当前求出的执行全部作业的最优总时间），就没有必要从该结点向下扩展了，让其成为死结点，也就是说仅仅扩展满足f2[i]<bestf的结点。
在这里插入图片描述

代码

int bound(int i)			//求结点的下界值
{
      int sum=0;
   for (int j=1;j<=i;j++)		//扫描所有选择的作业
     sum+=b[x[j]];			//累计所有选择作业的b时间
   return f2[i]+tot-sum;		//全部n个作业的b时间和为tot
}
void dfs(int i)			//从第i层开始搜索
{
      if (i>n)				//到达叶结点,产生一种调度方案
   {
      if (f2[n]<bestf)		//找到更优解
      {
      bestf=f2[n];
         for(int j=1; j<=n; j++)	//复制解向量
            bestx[j] = x[j];  
      }
   }
   else
   {
      for(int j=i; j<=n; j++)		//没有到达叶结点,考虑可能的作业
      {
      swap(x[i],x[j]);
         f1 += a[x[i]];		//选择作业x[i],在M1上执行完的时间
         f2[i]=max(f1,f2[i-1])+b[x[i]];
         if (bound(i)<bestf)		//剪枝
            dfs(i+1);
         f1 -= a[x[i]];		//回溯
         swap(x[i],x[j]);
      }
   }
}

算法分析

该算法的解空间树是一棵高度为n的排列树，对应算法的时间复杂度为O(n!)。
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.csdn.net/weixin_42729072/article/details/104929949

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