带插入区间K小值

题目链接：luogu P4278 / ybt金牌导航4-5-2

题目大意

要你维护待插入和修改的区间 k 小在线的查询。

思路

正解是块状链表+值域分块，但是我是在替罪羊树专题里面看到这道题了，就用的是树套树。
然后写完之后看了看正解的做法，懒得写的但是代码的下面会讲讲大概做法。

提前说好，我的代码只能过 luogu 的数据（还要开 O2），因为树套树的复杂度确实非常的不优，我也是卡了很久才卡过去的。
ybt 上直接卡 1s，怎么搞都搞不过去。

昨晚
我：阿巴阿巴，到替罪羊的例题了呀，然后看题。
看到求区间第 k 小——树状数组套线段树！
然后要修改——还是可以！
然后要插入，emmmm。
然后想了想可以把外面的改成平衡树，那理论上就可以实现插入了。
然后发现如果要旋转我们不知道要怎么搞才能缩小时间，然后就想到了无旋 Treap 和替罪羊。
然后瞄了一样专题是替罪羊，而且想到无旋 Treap 拆开合并也耗时间，那就用替罪羊吧。

然后，看着想出来的奇妙鬼玩意，我停止了思考。
于是我翻开了题解，然后我看了一个晚上才把题解的代码看懂。
*龙门粗口*

然后我码一开始的代码就码了一个上午。
*龙门粗口*
然后显而易见的是我卡常卡了一个下午。
*龙门粗口*

然后大概是你替罪羊的每个点对应数组的集合都开一个线段树。
那容易看出数组的一个数会影响一条链，一条替罪羊上的链，也就是很多个线段树。
我们每次要把影响的链找出来，枚举其中的点，然后对线段树进行操作。
而容易想到我们会有合并线段树的操作，其实并不是什么奇怪的玩意儿，就是把它们各个位置的权值相加罢了。

然后你可以看到你重构会删掉线段树，那我们还是用一个栈，把可以用的位置放进去。
每次要开新点就往里面拿，删线段树的时候就遍历你要删的点，除了清空值还把他们放进栈中。
（这样就不会爆空间了）

然后卡常就是调调平衡因子，重构的时候出了判断平衡还要让深度小于一个值才重构。
（不然你一直重构也浪费时间，而且可能会一条链上的点轮流重构，看着就不优）
然后这个你可以是 log(数的个数) / 零点几。
然后快读快输，register，再开个 O2 什么的就过去了。

具体实现可以看看代码。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define alph (0.88)
#define rr register
//#define logalph (log(4.0) - log(3.0))
#define logalph (0.15)

using namespace std;

int n, a[70001], Q, lastans, x, y, z, logg[70001];
char op;

struct xianduanshu {
    
	int ls, rs, sum;
}tree[20000010];
struct tizuiyang {
    
	int ls, rs, sz, rt;//rt 记录的是替罪羊树啥这个点对应的线段树的根节点是哪个
}tr[70001];
int place_xdx[20000010], root;
int dfn[70001], Val[70001];
int maxdeg;

int read() {
    
	rr int re = 0;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') {
    
		re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return re;
}

void write(rr int now) {
    
	if (now > 9) write(now / 10);
	putchar(now % 10 + '0');
}

void xianduanshu_clear(rr int now) {
    
	tree[now] = (xianduanshu){
    0, 0, 0};
}

void xianduanshu_throw(rr int &now) {
    //删掉线段树上的点，即把它们的位置标记为可以用
	place_xdx[++place_xdx[0]] = now;
	if (tree[now].ls) xianduanshu_throw(tree[now].ls);
	if (tree[now].rs) xianduanshu_throw(tree[now].rs);
	xianduanshu_clear(now);
	now = 0;
}

int xianduanshu_newpoint() {
    //线段树开新点
	rr int re = place_xdx[place_xdx[0]--];
	xianduanshu_clear(re);
	return re;
}

void xianduanshu_make_tree(rr int &root, rr int x) {
    //建一个点对应的线段树
	root = xianduanshu_newpoint();
	tree[root].sum = 1;
	
	rr int now = root, l = 0, r = 70000;
	while (l < r) {
    
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (x <= mid) {
    
			tree[now].ls = xianduanshu_newpoint();
			now = tree[now].ls;
			r = mid;
		}
		else {
    
			tree[now].rs = xianduanshu_newpoint();
			now = tree[now].rs; 
			l = mid + 1;
		}
		tree[now].sum++;
	}
}

void xianduanshu_insert(rr int &now, rr int l, rr int r, rr int pl, rr int val) {
    //在线段树中插入一个点
	if (!now) now = xianduanshu_newpoint();
	tree[now].sum += val;
	if (l == r) return ;
	
	rr int mid = (l + r) >> 1;
	if (pl <= mid) xianduanshu_insert(tree[now].ls, l, mid, pl, val);
		else xianduanshu_insert(tree[now].rs, mid + 1, r, pl, val);
}

void xianduanshu_merge(rr int &x, rr int y) {
    //把两个线段树的值合并到左边的线段树中
	if (!y) return ; 
	
	if (!x) x = xianduanshu_newpoint();
	tree[x].sum += tree[y].sum;//其实就是把权值加过去
	xianduanshu_merge(tree[x].ls, tree[y].ls);
	xianduanshu_merge(tree[x].rs, tree[y].rs);
}

int tizuiyang_build(rr int l, rr int r) {
    //建替罪羊树
	rr int mid = (l + r) >> 1;
	
	rr int now = dfn[mid];
	xianduanshu_make_tree(tr[now].rt, a[now]);//对于每个点都要建一个线段树
	
	if (l < mid) tr[now].ls = tizuiyang_build(l, mid - 1);
	if (mid < r) tr[now].rs = tizuiyang_build(mid + 1, r);
	
	tr[now].sz = tr[tr[now].ls].sz + tr[tr[now].rs].sz + 1;//原本的合并节点信息就变成了合并线段树
	xianduanshu_merge(tr[now].rt, tr[tr[now].ls].rt);
	xianduanshu_merge(tr[now].rt, tr[tr[now].rs].rt);
	
	return now;
}

void tizuiyang_get_dfn_all(rr int now) {
    //将这个替罪羊树这个点的子树提取出来
	if (tr[now].ls) tizuiyang_get_dfn_all(tr[now].ls);
	dfn[++dfn[0]] = now;
	if (tr[now].rs) tizuiyang_get_dfn_all(tr[now].rs);
}

void tizuiyang_get_dfn_part(rr int now, rr int rnk) {
    //提取替罪羊树从起点到第 k 小的点的路径
	dfn[++dfn[0]] = now;
	if (tr[tr[now].ls].sz >= rnk) tizuiyang_get_dfn_part(tr[now].ls, rnk);
		else if (tr[tr[now].ls].sz + 1 == rnk) return ;
			else tizuiyang_get_dfn_part(tr[now].rs, rnk - tr[tr[now].ls].sz - 1);
}

void tizuiyang_get_inside(rr int now, rr int l, rr int r, rr int L, rr int R) {
    //将这段区间内的点找出来
	if (L <= l && r <= R) {
    //可以直接确定一个平衡树内的区间都是在询问区间里面的
		dfn[++dfn[0]] = tr[now].rt;
		return ;
	}
	
	rr int mid = l + tr[tr[now].ls].sz;
	if (L < mid && tr[now].ls) tizuiyang_get_inside(tr[now].ls, l, mid - 1, L, R);
	if (L <= mid && mid <= R) Val[++Val[0]] = a[now];
	if (mid < R && tr[now].rs) tizuiyang_get_inside(tr[now].rs, mid + 1, r, L, R);
}

int tizuiyang_Query(rr int l, rr int r, rr int rnk) {
    //询问区间第 k 小
	dfn[0] = Val[0] = 0;
	tizuiyang_get_inside(root, 1, n, l, r);//先找到所有这段区间的替罪羊树（和点）
	
	l = 0;
	r = 70000;
	while (l < r) {
    //二分数的大小（这个时候会同时在线段树上跑）
		rr int mid = (l + r) >> 1;
		rr int number = 0;
		
		for (rr int i = 1; i <= dfn[0]; i++)//枚举每个替罪羊树上的点代表的线段树，找它有多少个小于等于它的数
			number += tree[tree[dfn[i]].ls].sum;
		for (rr int i = 1; i <= Val[0]; i++)//看那些点是否满足条件
			if (l <= Val[i] && Val[i] <= mid) number++;
		
		if (number < rnk) {
    //根据个数确定二分的答案的位置
			rnk -= number;
			l = mid + 1;
			for (int i = 1; i <= dfn[0]; i++)//在这些线段树上跑，下面也一样
				dfn[i] = tree[dfn[i]].rs;
		}
		else {
    
			r = mid;
			for (int i = 1; i <= dfn[0]; i++)
				dfn[i] = tree[dfn[i]].ls;
		}
	}
	
	return l;
}

void tizuiyang_change(rr int pl, rr int val) {
    //将一个数修改乘另一个数
	dfn[0] = 0;
	tizuiyang_get_dfn_part(root, pl);//提取起点到这个数在替罪羊树上经过的点
	
	rr int bef = a[dfn[dfn[0]]];
	for (rr int i = 1; i <= dfn[0]; i++) {
    
		xianduanshu_insert(tr[dfn[i]].rt, 0, 70000, bef, -1);//把原来的数从这个线段树上消掉
		xianduanshu_insert(tr[dfn[i]].rt, 0, 70000, val, 1);//把新的数放进这个线段树里面
	}
	
	a[dfn[dfn[0]]] = val;//改值
}

int tizuiyang_rebuild(rr int now) {
    //替罪羊树的重新构造
	dfn[0] = 0;
	tizuiyang_get_dfn_all(now);//把整个子树找到（拍扁）
	for (rr int i = 1; i <= dfn[0]; i++) {
    //清空
		rr int x = dfn[i];
		xianduanshu_throw(tr[x].rt);
		tr[x].ls = tr[x].rs = tr[x].sz = 0;
	}
	return tizuiyang_build(1, dfn[0]);//重新建
}

bool tizuiyang_insert_num(rr int &now, rr int rnk, rr int pl, rr int deg) {
    //在平衡树中插入点
	if (!now) {
    
		now = pl;
		tr[now].sz++;
		xianduanshu_make_tree(tr[now].rt, a[now]);
		return deg <= maxdeg;//这里是设定了一个深度，小于这个深度再重构
	}
	
	tr[now].sz++;
	xianduanshu_insert(tr[now].rt, 0, 70000, a[pl], 1);
	
	bool pd = 0;
	if (rnk <= tr[tr[now].ls].sz + 1) pd = tizuiyang_insert_num(tr[now].ls, rnk, pl, deg + 1);
		else pd = tizuiyang_insert_num(tr[now].rs, rnk - tr[tr[now].ls].sz - 1, pl, deg + 1);
	
	//判断&重构
	if (pd && tr[now].sz * alph < tr[tr[now].ls].sz || tr[now].sz * alph < tr[tr[now].rs].sz) {
    
		now = tizuiyang_rebuild(now);
		return 0;
	}
	
	return pd; 
}

void tizuiyang_insert(rr int rnk, rr int val) {
    
	a[++n] = val;//把它放进树里面
	maxdeg = logg[n] / logalph;//根据你的函数推出重构的深度不要超过多少
	tizuiyang_insert_num(root, rnk, n, 0);//把 n 这个位置的数放进替罪羊的 rank 位置
}

int main() {
    
//	freopen("read.txt", "r", stdin);
//	freopen("write.txt", "w", stdout);
	
	n = read();
	for (rr int i = 1; i <= n; i++) {
    
		a[i] = read();
		dfn[i] = i;
	}
	
	for (rr int i = n; i <= 70000; i++)
		logg[i] = log(1.0 * i);
	for (rr int i = 20000000 - 1; i >= 1; i--)//一开始所有的空间都能用
		place_xdx[++place_xdx[0]] = i;
	
	root = tizuiyang_build(1, n);
	
	Q = read();
	while (Q--) {
    
		op = getchar();
		while (op != 'Q' && op != 'M' && op != 'I') op = getchar();
		
		if (op == 'Q') {
    
			x = read() ^ lastans; y = read() ^ lastans; z = read() ^ lastans;
			lastans = tizuiyang_Query(x, y, z);
			write(lastans);
			putchar('\n');
		}
		else if (op == 'M') {
    
			x = read() ^ lastans; z = read() ^ lastans;
			tizuiyang_change(x, z);
		}
		else if (op == 'I') {
    
			x = read() ^ lastans; z = read() ^ lastans;
			tizuiyang_insert(x, z);
		}
	}
	
	return 0;
}

正解应该怎么做

首先我们一步一步想，没有插入，也没有修改，就连区间都是固定的要怎么做。
不要骂是 SB 题，用分块的做法。
容易想到分成 $\sqrt{n}$ 个块，然后 $O(n)$ 记录每个块中有多少个数，$O(n)$ 记录这个数在数组中出现次数。
先根据块中个数确定你要的数在哪个块，然后根据数在数组中出现次数找到在块的哪个位置。

然后接着我们看吧区间搞成不固定。
然后考虑还是同样方法，然后记录的变成二维，记录前 $i$ 块值域是 $j$ 块中有多少个数。（$O(n\sqrt{n})$）
记录前 $i$ 块 $j$ 出现过多少次（前缀和搞搞 $O(n\sqrt{n})$）
然后我们考虑询问，如果 $x,y$ 在同一块，那就是跟区间固定一样的做法。
如果不一样，我们就先把散的处理的，再处理整块的。（整块可以用前缀和求）

然后再加单点修改。
那就只用修改它所在块的这两个值，复杂度完全没有问题。

然后就只剩插入了。
你考虑插入就插入它左边所在块里面，就当它这个数放进了这个块里面。
但是你会发现放多了它就不优了。
那你考虑多的拆开成两个，由于级别是 $\sqrt{n}$，也可以很好解决。
但你遍历块的顺序。。。容易想到你是按着从头到尾的顺序一个一个摸过去的，那我们完全可以搞一个链表。

然后做法就出来了，这个看起来实现就比我用的树套树好写一万倍，但我实在是不想写了。

*龙门粗口*
（什么写树套树写到心态炸裂）